Las Torres de Hanoy

Hubo un tiempo en que "Hanoi" era, par mí, una palabra con reminiscencias bélicas. La Guerras de Indochina y de Vietnam nos llenaron los ojos de estallidos y napalm en un periodo de treinta años entre 1945-75. Más tarde aprendí que era la capital de Vietnan del Norte, también llamada Tonkín; que tiene ya más de mil años y que casi siempre fue el centro político más importante de la región.

Hace algunos años, por medio de un libro escolar de matemáticas, descubrí que esa ciudad prestaba su nombre a una hermosa leyenda creada para presentar un curioso juego procedente de la antiquísima India, país de gran relevancia matemática al que debemos, entre otras muchas cosas, la primera expresión del cero posicional. Curiosamente Hanoi, no es el lugar de referencia de la leyenda y su denominación nos hace pensar que fue bautizado así debido a las numerosas referencias que tenía la población francesa a finales del s. XIX de esa capital debido a la guerra colonial en la llamada Indochina Francesa.


La leyenda, una predicción matemática sobre la fecha del fin del mundo, fue publicada en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas D'Amiens en un hermoso y poético texto que dice así:

“En el gran templo de Benarés, debajo de la cúpula que marca el centro del mundo, yace una base de bronce, en donde se encuentran acomodadas tres agujas de diamante, cada una del grueso del cuerpo de una abeja y de una altura de 50 cm aproximadamente. En una de estas agujas, Dios, en el momento de la Creación, colocó sesenta y cuatro discos de oro, el mayor sobre la base de bronce y el resto de menor tamaño conforme se va ascendiendo. Día y noche, incesantemente, los sacerdotes del templo se turnan en el trabajo de mover los discos de una aguja a otra de acuerdo con las leyes impuestas e inmutables de Brahma, que requieren que siempre haya algún sacerdote trabajando, que no muevan más de un disco a la vez y que deben colocar cada disco en alguna de las agujas de modo que no cubra a un disco de radio menor. Cuando los sesenta y cuatro discos hayan sido transferidos de la aguja en la que Dios los colocó en el momento de la Creación a otra aguja, el templo y los brahmanes se convertirán en polvo y, junto con ellos, el mundo desaparecerá”.

Comercialmente se presentaba como un rompecabezas diseñado por un tal N. Claus de Siam (que es un anagrama de Lucas d'Amiens) al que su compatriota, el escritor Henri de Parville, amplió y adornó con la leyenda poco tiempo después. (En aquella época, era corriente que los matemáticos se ganaran la vida publicando y haciendo demostraciones de juegos de su invención, al modo como los juglares lo hicieron con su música en la Edad Media). El artificio resultó ser tan efectista y bonito que ha mantenido su interés hasta hoy. Quizás la curiosidad de preguntarse: «Si la leyenda es cierta, ¿cuándo será el fin del mundo?» haya contribuido definitivamente a su fama perdurable. Pero además resulta que, pese a la resolución del enigma es relativamente sencilla, la idea del juego ha demostrado ser una de las más fecundas de la matemática recreativa.

Analizando la mecánica del juego se llega a la conclusión de que la mínima cantidad de movimientos para "completar" el rompecabezas es 2⁶⁴ – 1 (¿No resulta curioso ese parecido con la cantidad de trigo a pagar en la leyenda de la invención del ajedrez?). Es decir, si los monjes realizaran de manera sincronizada y ordenada el movimiento de un disco por segundo, el fin del mundo llegaría al cabo de 18.446.744.073.709.551.615 segundos (es decir algo más de 213.503.982.334.601 días que equivalen aproximadamente a unos 585 mil millones de años. Para hacerse una idea de la magnitud de esta cifra baste saber que la edad del Universo es tan solo de 14 mil millones de años, una cifra 42 veces menor.)

Este juego matemático es uno de los más conocidos del mundo. Además es mostrado como modelo en la ciencia de la computación y se muestra en muchos libros de texto como introducción a la teoría de algoritmos. Muchos profesores lo han usado para ilustrar el método de demostración denominado "de inducción completa", el concepto de recursividad, conceptos relacionados con la combinatoria, sistemas de numeración, incluso podría ser usado para mostrar la creación de un fractal...

A nivel práctico, como receta para el gran público, existe un algoritmo sencillo que cumpliría con la solución de "la mínima cantidad de movimientos". Dicho algoritmo es aplicable a cualquier número de discos:

 "El disco pequeño se debe mover siempre cíclicamente en el mismo sentido: hacia la derecha (de A a B, de B a C y de C a A) o hacia la izquierda (de A a C, de C a B y de B a A), según el número de discos sea par o impar respectivamente."

Según esta regla se construye este algoritmo enunciado por Peter Buneman y Leon Levy.

1. Si n es par, mueve el disco 1 hacia la derecha. Si es impar, muévelo hacia la izquierda.
2. Si todos los discos están en C, fin. Si no, mueve un disco que no sea el 1 y vuelve al paso 1.

 "Pasados 213.503.982.334.601 días, en el año 585.000.000.000 el Universo se colapsaba. El viejo monje colocó el disco más pequeño sobre la torre del Destino. Los monjes habían previsto ese momento y, recogidos bajo la cúpula del gran templo de la antiquísima ciudad de Benarés en aquel olvidado planeta, rezaban. 

En aquel instante la mesa de bronce vibró levemente,   los discos dorados brillaron un instante. Las agujas resplandecieron. Luego todo fue luz cegadora. Después nada."